Uma das características mais interessantes do cérebro humano é a sua capacidade de extrair princípios gerais de casos específicos. De acordo com muitos filósofos e psicólogos, a generalização é um aspecto importante da cognição, nutrindo e ampliando os poderes de pensamento do cérebro ao mesmo tempo. O filósofo alemão Hegel colocou o seguinte: "Uma idéia é sempre uma generalização, e a generalização é uma propriedade do pensamento. Para generalizar significa pensar "(de The Philosophy of Right , 1821).
Talvez o aspecto mais fascinante do cérebro da resolução de quebra-cabeças seja o fato de que, muitas vezes, um gênero de quebra-cabeça específico nos estimula a procurar algum padrão geral ou padrão estruturado escondido inerente às várias versões do quebra-cabeça. Neste blog, é o gênero bem conhecido dos enigmas "correspondentes" que serão usados para mostrar como esta capacidade inata do cérebro se desenrola – uma capacidade que está presente em todos nós, mesmo aqueles que não gostam de resolver enigmas.
Vamos começar com um enigma simples desse tipo:
Em uma caixa há 20 bolas de bilhar, 10 brancas e 10 pretas, espalhadas ao acaso na caixa. Todos sentem o mesmo. Com uma venda nos olhos, qual é o menor número de bolas que você deve desenhar para obter um par de bolas que combinam em cores: isto é, duas bolas brancas ou duas bolas pretas?
Muitos recém-chegados a esse tipo de quebra-cabeça tendem a argumentar um pouco nas seguintes linhas:
Se a primeira bola que eu retire é branca, então vou precisar de uma outra branca para combiná-la. Mas a próxima bola pode ser negra, como pode ser a seguinte, e a seguir depois, e assim por diante. Então, para ter certeza de que eu obtenho uma correspondência, devo (em princípio) remover todas as bolas pretas da caixa – 10 no total. O próximo que eu remover depois disso será necessariamente branco, pois essa é a cor das bolas que ficam na caixa. Incluindo a primeira bola branca que tirei, as dez bolas negras que eu tive que remover e a bola branca que finalmente corresponde, 12 é o número mínimo de bolas que eu precisarei extrair.
Esta linha de raciocínio, no entanto, não consegue entender o que o quebra-cabeça realmente exige que você faça – combinar a cor de duas bolas, não apenas a cor do primeiro desenhado, o que passou a ser branco. O raciocínio correto é assim. Suponha que a primeira bola que você tira é na verdade uma branca. Se você tiver sorte, a próxima bola que você tira também será branca e acabou o jogo! Mas você não pode assumir esse cenário baseado em sorte. Você deve, pelo contrário, assumir o pior caso, ou seja, que a próxima bola que você tira é negra. Assim, após dois sorteios, você tirou uma bola branca e uma bola negra da caixa, no pior caso. Obviamente, você poderia ter puxado uma bola preta primeiro e um segundo branco. O resultado final teria sido o mesmo: uma bola branca e uma bola preta após dois empates.
Agora, aqui está o cerne da solução – a próxima bola que você tira da caixa, claro, será branca ou preta. Não importa qual cor da terceira bola é, ele combinará a cor de uma das duas já esticadas. Se for branco, combinará a bola branca fora da caixa; Se é preto, ele irá combinar a bola negra fora da caixa. Você terá então um par de bolas de cores correspondentes. Então, o menor número de bolas que você precisará desenhar da caixa para garantir que um par de bolas correspondentes seja três .
Em seguida, vamos adicionar uma cor à mistura.
Em uma caixa há 30 bolas de bilhar, 10 brancas, 10 negras e 10 vermelhas espalhadas ao acaso na caixa. Novamente, todos sentem o mesmo. Com uma venda nos olhos, qual é o menor número de bolas que você deve desenhar desta vez para obter um par de bolas que combinam: ou seja, duas bolas brancas ou duas bolas negras ou duas bolas vermelhas?
Mais uma vez, vamos aumentar a mistura de cores por mais um.
Em uma caixa há 40 bolas de bilhar, 10 brancas, 10 negras, 10 vermelhas e 10 verdes espalhadas ao acaso na caixa. Novamente, todos sentem o mesmo. Com uma venda nos olhos, qual é o menor número de bolas que você deve desenhar para obter um par de bolas que combinam: isto é, duas bolas brancas ou duas bolas pretas ou duas bolas vermelhas ou duas bolas verdes?
Vamos aumentá-lo uma última vez.
Em uma caixa, há 50 bolas de bilhar, 10 brancas, 10 negras, 10 vermelhas, 10 verdes e 10 azuis espalhadas ao acaso na caixa. Novamente, todos sentem o mesmo. Com uma venda nos olhos, qual é o menor número de bolas que você deve desenhar para obter um par de bolas que combina: ou seja, duas bolas brancas ou duas bolas pretas ou duas bolas vermelhas ou duas bolas verdes ou duas bolas azuis?
Neste ponto, você vê um padrão? O que é isso? A mudança do número de bolas de uma cor altera o padrão? Ou seja, o que acontece se o número de bolas no último quebra-cabeça é 10 branco, 9 preto, 6 vermelho, 4 verde e 1 azul ?
Aqui está uma versão interessante e mais complicada deste tipo de quebra-cabeça:
Se houver 6 pares de sapatos pretos e 6 pares de sapatos brancos em uma caixa, todos misturados, qual é o menor número de sorteios que você deve fazer com uma venda nos olhos para ter certeza de ter um par correspondente de sapatos preto ou branco?
Para concluir, acredito que um dos aspectos mais importantes da resolução de enigmas é a sua capacidade de estimular e melhorar os processos de generalização de forma espontânea. Parece que o cérebro humano não pode parar no particular, mas é programado para extrair princípios de estrutura geral ou design na informação que ele processa. Como o historiador inglês Thomas Babington Macaulay observado na Revista de Edimburgo de 1825, "A generalização é necessária para o avanço do conhecimento". Resolver enigmas como os apresentados aqui pode mostrar por que isso é assim e por que isso vem tão naturalmente para nós.
Respostas
O raciocínio para a versão de 30 bolas e três cores é o mesmo. Você começa assumindo o pior caso. O que é isso? Está desenhando três bolas de três cores diferentes: branco, preto e vermelho. Agora, a quarta bola que você desenha, não importa qual cor é, combinará uma das três cores fora da caixa, uma vez que só pode ser branca, preta ou vermelha.
O raciocínio para a versão de 40 cores e quatro cores é exatamente o mesmo. Você começa assumindo o pior cenário, que consiste em desenhar quatro bolas de quatro cores diferentes: branco, preto, vermelho e verde. A quinta bola que você desenha, no entanto, combinará uma dessas quatro fora da caixa.
Escusado será dizer que o raciocínio para a versão de 50 cores e cinco cores também é o mesmo. Você começa assumindo o pior caso. Para esta versão, isso consiste em desenhar cinco bolas de cinco cores diferentes: branco, preto, vermelho, verde e azul. A sexta bola que você tira, no entanto, combinará um desses cinco fora da caixa.
Qual é o padrão geral? Quando há duas cores de bolas na caixa, precisamos de três sorteios para obter uma partida; Quando há três, precisamos de quatro sorteios; Quando há quatro, precisamos de cinco; Quando há cinco, precisamos de seis. Este padrão continuará continuamente porque o raciocínio é o mesmo em todos os casos. O padrão é, simplesmente, que um mais desenho do que o número de cores é necessário para garantir que um par de bolas de cor correspondente seja esticado.
Alterar o número de bolas das cores não altera o padrão de solução. Aqui está o porquê. Digamos que há 10 brancos e apenas 1 preto na caixa. No pior caso, você ainda tirará 1 branco e 1 preto. No entanto, o terceiro desenho produzirá necessariamente uma bola branca – essa é a única cor das bolas deixadas dentro da caixa – para combinar a bola branca já esticada. O mesmo tipo de raciocínio pode ser usado uma e outra vez. Portanto, a regra geral permanece, não importa o número de bolas envolvidas para cada cor.
A resposta ao problema do sapato é 13. Existem 24 sapatos na caixa: 6 pares de sapatos pretos = 12 sapatos pretos; 6 pares de sapatos brancos = 12 sapatos brancos. Dos 24, a metade é ajustada à direita e a metade é ajustada aos pés. Na pior das hipóteses, podemos escolher os 12 sapatos do pé esquerdo (6 dos quais são pretos e 6 brancos) ou os 12 sapatos de pé direito (6 dos quais são pretos e 6 brancos). O décimo terceiro sapato desenhado, no entanto, combinará com um desses doze.
Mais especificamente, suponha que extraímos os 12 sapatos de pé esquerdo-6 pretos e 6 brancos. O décimo terceiro empate só pode produzir um sapato de pé direito porque não há mais sapatos de pé à esquerda na caixa. E, claro, pode ser preto ou branco. Em ambos os casos, será uma cor correspondente. Assuma que extraímos os 12 sapatos de pé direito-6 pretos e 6 brancos. O décimo terceiro empate só pode produzir um sapato com o pé esquerdo, porque não há mais sapatos de pé direito na caixa. E será preto ou branco. Em ambos os casos, será uma cor correspondente.
